Strona główna

środki
ciężkości-
wiadomości
ogólne


środki
ciężkości
figur płaskich


środki
ciężkości  brył


środki
ciężkości
powierzchni
i linii


zadania

      Środek ciężkości jest to punkt, w którym jest zaczepiona siła przedstawiająca ciężar danego ciała, i pokrywa się on ze środkiem sił równoległych, które reprezentują elementarne siły ciężkości, tj. siły przyciągania cząstek ciała materialnego przez kulę ziemską, skierowane pionowo do środka ziemi.

Współrzędne 
xc, yc i zc środka ciężkości C dowolnego ciała jednorodnego wyznaczamy ze wzorów

                 
gdzie
r - gęstość ciała, m - masa danego ciała jednorodnego.
Z wzorów tych wynika, że współrzędne środka ciężkości
C zależą od kształtu ciała oraz rozkładu masy.
Wyrażenia w licznikach tych wzorów noszą nazwę momentów statycznych ciała materialnego względem odpowiednich płaszczyzn układu współrzędnych Oxy
z.

Twierdzenia przydatne do wyznaczania środków ciężkości ciał materialnych jednorodnych
  • Jeżeli bryła ma płaszczyznę symetrii, to środek ciężkości leży w tej płaszczyźnie.
  • Gdy bryła ma dwie płaszczyzny symetrii, środek ciężkości leży na linii ich przecięcia.
  • Gdy bryła ma trzy płaszczyzny symetrii, środek ciężkości leży w punkcie przecięcia się tych płaszczyzn.
  • Moment statyczny dowolnej figury względem płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości tej figury jest równy zeru.

Metody stosowane do wyznaczenia położenia środka ciał jednorodnych
  • analityczna - polegająca na zastosowaniu odpowiednich wzorów,
  • momentów statycznych, w której korzysta się z twierdzenia, że moment statyczny ciała względem płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości tego ciała jest równy zeru. Wzory do obliczenia współrzędnych środka ciężkości danego ciała

                   

  • gdzie
    Syz, Sxz i Sxy to momenty statyczne z odpowiednim indeksem, określającym płaszczyznę, względem której oblicza się te momenty.
  • dzielenia, która sprowadza się do następujących etapów:
    • podziału bryły na proste elementy bryłowe, których położenia środków ciężkości są znane,
    • obliczenia momentów statycznych bryły względem płaszczyzn przyjętego układu współrzędnych (sumując iloczyny objętości brył prostych i współrzędnych środków ciężkości)
    • obliczenia z wcześniejszych wzorów współrzędnych środka ciężkości bryły (dzieląc momenty statyczne bryły przez całkowitą objętość bryły).
    metoda ta stosowana jest również do obliczania współrzędnych środków ciężkości figur płaskich, powierzchni i linii.
  • uzupełniania (ujemnych mas), która polega na tym, że bryłę (figurę płaską, powierzchnię, linię) uzupełnia się inną bryłą tak dobraną, aby uzyskać bryłę (figurę płaską, powierzchnię, linię) o możliwie prostej postaci. Wyznaczenie środka ciężkości sprowadza się wówczas do metody momentów statycznych, odejmując od momentu statycznego otrzymanej bryły (figury płaskiej, powierzchni, linii) moment statyczny bryły (figury płaskiej, powierzchni, linii) uzupełniającej.





Statyka | Wytrzymałość materiałów

Przykładowe zadania | Testy